Συμμετρία · Γεωμετρία · Λόγος
Ἄλογον
Γιατί το χαρτί σου είναι το ένα σχήμα που δεν μετριέται με τον εαυτό του — και γιατί αυτό είναι το δώρο.
Η φράση
Ρητό κείμενο σε άρρητη γεωμετρία.
διάβασέ το ως μαθηματικά
ρητός αριθμός μέσα σε άρρητο
διάβασέ το ως γλώσσα
λόγος μέσα στο ανείπωτο
και τα δύο είναι κυριολεξίες
Τα ελληνικά κρατούν ένα ζεύγος λέξεων και για τις δύο σημασίες. Ῥητός και ἄρρητος είναι οι μαθηματικοί όροι για τον εκφράσιμο και τον ανέκφραστο αριθμό, και οι καθημερινές λέξεις για το ειπωμένο και το ανείπωτο. Η φράση δεν είναι μεταφορά: είναι δύο κυριολεξίες που μοιράζονται μία γραμμή.
Από την αρχή ως σήμερα
Είκοσι πέντε αιώνες σε εννέα βήματα.
Η ιδέα πίσω από αυτά τα έργα δεν είναι καινούργια. Είναι η παλαιότερη κρίση των μαθηματικών, διπλωμένη μερικές φορές, ώσπου να χωρέσει σε ένα φύλλο χαρτί.
- π. 530 π.Χ. Κρότων
Τα πάντα αριθμός.
Οι Πυθαγόρειοι πιστεύουν ότι κάθε δύο μήκη έχουν κοινό μέτρο, άρα η σχέση τους λέγεται πάντα ως λόγος ακεραίων. Αυτό σημαίνει συμμετρία: συμ-μετρία, μέτρο κοινό.
- π. 450 π.Χ. Η διαγώνιος
Το μέτρο που δεν υπάρχει.
Ο Ίππασος ο Μεταποντίνος, λέει η ιστορία, δείχνει ότι η πλευρά και η διαγώνιος του τετραγώνου δεν έχουν κανένα κοινό μέτρο. Ο θρύλος λέει ότι τον πήρε η θάλασσα γι' αυτό. Η απόδειξη επέζησε· χωράει σε πέντε γραμμές πιο κάτω σε αυτή τη σελίδα.
- π. 369 π.Χ. Αθήνα
Μια γραμματική για το ανείπωτο.
Ο Θεαίτητος ταξινομεί τα ασύμμετρα μήκη, και ο Πλάτων δίνει το όνομά του σε έναν διάλογο. Ό,τι δεν λέγεται ως λόγος αποκτά, τουλάχιστον, τάξη.
- π. 300 π.Χ. Αλεξάνδρεια
Ῥητός καὶ ἄλογος.
Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλίο Ι΄: τα μεγέθη είναι ρητά ή άλογα, εκφράσιμα ή χωρίς λόγο. Η γλώσσα χρησιμοποιεί τις ίδιες ακριβώς λέξεις για το ειπωμένο και το ανείπωτο, και δεν τις αφήνει ποτέ.
- 1786 Γκέτινγκεν
Ο αριθμός γίνεται χαρτί.
Ο Γκέοργκ Κρίστοφ Λίχτενμπεργκ γράφει στον Γιόχαν Μπέκμαν για ένα φύλλο που κρατά το σχήμα του όταν διπλωθεί στη μέση. Οι πλευρές του έχουν λόγο 1 : √2. Η άρρητη διαγώνιος είναι πια ένα κομμάτι χαρτί.
- 1798 Παρίσι
Η Δημοκρατία μετρά το χαρτί.
Ο γαλλικός νόμος για το χαρτόσημο ορίζει μεγέθη χαρτιού πάνω σε αυτόν τον λόγο. Το grand registre μετρά 420 επί 594 χιλιοστά, το φύλλο που σήμερα λέμε A2.
- 1922 Βερολίνο
Το A0 είναι ένα τετραγωνικό μέτρο.
Το DIN 476 του Βάλτερ Πόρστμαν ορίζει τη σειρά A: κάθε μισό κρατά το σχήμα, και όλη η οικογένεια ξεκινά από ένα τετραγωνικό μέτρο. Το 1975 γίνεται ISO 216, το χαρτί σε κάθε συρτάρι της γης.
- 1953 Κέιμπριτζ
Τέσσερα γράμματα σε μία γραμμή.
Ο Γουάτσον και ο Κρικ περιγράφουν τη διπλή έλικα. Τέσσερις βάσεις αραδιασμένες σε μία γραμμή κουβαλούν το κείμενο κάθε ζωντανού πράγματος, δύο bit ανά σύνδεσμο, με δική του διόρθωση λαθών.
- 2026 Εδώ
Ρητό κείμενο σε άρρητη γεωμετρία.
Μια διπλή έλικα τεσσάρων χρωμάτων, δύο bit ανά σύνδεσμο, χαραγμένη ως κύμα, σπείρα, λαβύρινθος πάνω στο ένα φύλλο που δεν έχει λόγο. Ένα κινητό διαβάζει τις λέξεις πίσω, γράμμα προς γράμμα.
Η εξίσωση
Δεν διαλέγεις τον αριθμό. Τον βρίσκεις.
Ζήτα ένα ορθογώνιο που, κομμένο στη μέση, δίνει δύο ορθογώνια του ίδιου σχήματος. Έστω πλευρές 1 και r.
1 × r → δύο κομμάτια (r/2) × 1
// «ίδιο σχήμα» σημαίνει ίδιος λόγος μεγάλης προς μικρή
r / 1 = 1 / (r/2)
r = 2 / r
r² = 2
r = √2 = 1,41421356…
Καμία άλλη λύση. Το A4 — 210 × 297 mm — είναι αυτό, στρογγυλεμένο σε ακέραια χιλιοστά: 297 / 210 = 1,41428. Η σειρά ξεκινά από το A0, που έχει εμβαδόν ακριβώς ένα τετραγωνικό μέτρο.
Δίπλωσέ το
Εδώ γίνεται αισθητό
Δύο φύλλα, ίδιο ύψος. Το ένα σε λόγο √2, το άλλο σε χρυσή τομή. Δίπλωσέ τα στη μέση, ξανά και ξανά, και κοίτα τι μένει.
Το √2 δίνει το ίδιο σχήμα σε κάθε δίπλωση. Το φ επιστρέφει κάθε δεύτερη, εναλλασσόμενο με το 1,2361 — που είναι, όμορφα, ακριβώς 2/φ.
Η ακριβής διαφορά με τη χρυσή τομή
Δύο αυτοομοιότητες, δύο διαφορετικές πράξεις
Η χρυσή τομή έχει αυτοομοιότητα — απλώς σε άλλη πράξη. Αυτό είναι όλη η ιστορία:
| αναλογία | πράξη | τι μένει |
|---|---|---|
| √2 = 1,4142 | διαιρείς στα δύο | ίδιο ορθογώνιο |
| φ = 1,6180 | αφαιρείς τετράγωνο | ίδιο ορθογώνιο |
Ένα πλέγμα σελίδας δεν αφαιρεί ποτέ τετράγωνα. Μοιράζει τον χώρο σε ίσα μέρη — μία στήλη, δύο, τρεις, τέσσερις. Αυτή είναι η πράξη του √2, όχι του φ. Γι' αυτό το φ, παρ' όλη τη φήμη του, δεν μπορεί να κρατήσει σχήμα σε πλέγμα που αλλάζει πλήθος στηλών.
Σύρε. Το πλήθος αλλάζει· το σχήμα ποτέ. Αυτό ακριβώς κάνει η γκαλερί των έργων σε κάθε πλάτος οθόνης, και είναι το σημείο όπου ο επισκέπτης νιώθει τον αριθμό χωρίς να τον ονομάζει.
Γιατί «ἄλογον»
Η κρίση που έσπασε τους Πυθαγόρειους
Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι κάθε δύο μεγέθη έχουν κοινό μέτρο: κάποιο μήκος που χωράει ακέραιες φορές και στα δύο. Αυτό σημαίνει η λέξη συμ-μετρία. Και τότε η σχέση τους γράφεται ως λόγος ακεραίων — λόγος.
Η διαγώνιος του τετραγώνου το έσπασε. Η απόδειξη χωράει σε πέντε γραμμές:
2q² = p² → το p² άρτιο → το p άρτιο
p = 2k → 2q² = 4k²
q² = 2k² → το q² άρτιο → το q άρτιο
p, q και τα δύο άρτια — αντίφαση.
Άρα η πλευρά και η διαγώνιος δεν έχουν κανένα κοινό μέτρο. Ούτε το χιλιοστό, ούτε το εκατομμυριοστό, ούτε οποιοδήποτε μήκος έχει φανταστεί ή θα φανταστεί ποτέ κανείς. Γι' αυτό ονομάστηκαν ἀσύμμετρα — χωρίς κοινό μέτρο — και ἄλογα — χωρίς λόγο, ανείπωτα.
Οι καλύτερες προσεγγίσεις με κλάσματα πλησιάζουν και δεν φτάνουν ποτέ. Το 99/70 ήταν η αρχαία τιμή· είναι σωστό στα πέντε δεκαδικά και λάθος στο έκτο, για πάντα.
| κλάσμα | τιμή | σωστά ψηφία |
|---|---|---|
| 3/2 | 1,5000000 | 1 |
| 7/5 | 1,4000000 | 1 |
| 17/12 | 1,4166667 | 2 |
| 41/29 | 1,4137931 | 3 |
| 99/70 | 1,4142857 | 5 |
| 577/408 | 1,4142157 | 6 |
| 665857/470832 | 1,4142136 | 11 |
| √2 | 1,4142136… | — |
Γιατί αυτό είναι το θέμα σου
Ρητό μέσα σε άρρητο
Ζήτησες «συμμετρία, γεωμετρία και Λόγο». Το χαρτί πάνω στο οποίο τυπώνεις είναι το ένα σχήμα που δεν έχει ούτε συμμετρία — με την αρχαία σημασία — ούτε λόγο.
Και εδώ η ελληνική γλώσσα κάνει ένα δώρο που καμία άλλη δεν μπορεί. Οι μαθηματικοί όροι για τους αριθμούς είναι ῥητός και ἄρρητος: εκφράσιμος και ανέκφραστος. Είναι οι ίδιες ακριβώς λέξεις που σημαίνουν «ειπωμένος» και «ανείπωτος». Δεν είναι λογοπαίγνιο· είναι η αρχαία ορολογία, και ισχύει ακόμη.
Αυτό δεν είναι σχεδιαστική σύμβαση που επιβάλαμε εκ των υστέρων. Είναι ήδη μετρήσιμα μέσα στα αρχεία: κάθε σελίδα που παράγει το πρόγραμμα είναι 1400 × 1980 pixel, δηλαδή 0,70707 — και 1/√2 = 0,70711. Η αντίφαση ήταν εκεί πριν τη σκεφτεί κανείς.
Με απλά λόγια
Δύο πειράματα με χαρτί και χάρακα
Όλο το παραπάνω χωράει σε δύο πράγματα που μπορείς να κάνεις τώρα, στο τραπέζι, χωρίς να ξέρεις τίποτα από μαθηματικά.
Πρώτο: το χαρτί που δεν αλλάζει σχήμα
χρειάζεσαι ένα A4
- δίπλωσε Πάρε ένα κοινό χαρτί εκτύπωσης και δίπλωσέ το στη μέση, φέρνοντας τη μια μικρή πλευρά πάνω στην άλλη.
- κοίτα Το μισό χαρτί έχει ακριβώς το ίδιο σχήμα με το ολόκληρο. Πιο μικρό, αλλά ίδιο — σαν φωτογραφία του εαυτού του.
- ξανά Δίπλωσε ξανά. Και ξανά. Πάντα το ίδιο σχήμα. Θα μπορούσες να συνεχίζεις για πάντα, αν το χαρτί άντεχε.
Δοκίμασέ το με ένα τετράγωνο χαρτί ή με ένα μακρόστενο: δεν γίνεται. Το μισό βγαίνει πάντα άλλο σχήμα. Υπάρχει μόνο ένα σχήμα στον κόσμο που το κάνει αυτό — και τυχαίνει να είναι το χαρτί που έχουμε όλοι στο σπίτι.
Δεύτερο: η γραμμή που δεν μετριέται
χρειάζεσαι ένα τετράγωνο και έναν χάρακα
- σχεδίασε Ένα τετράγωνο. Μέτρα την πλευρά του — ας πούμε 10 εκατοστά.
- μέτρα Τώρα μέτρα τη γραμμή από τη μια γωνία στην απέναντι. Θα βρεις κάπου 14,1 εκατοστά. Πάρε καλύτερο χάρακα: 14,14. Ακόμη καλύτερο: 14,142.
- ψάξε Ψάξε ένα μικρό κομματάκι — ένα χιλιοστό, μισό χιλιοστό, οτιδήποτε — που να χωράει ακριβώς, ακέραιες φορές, και στην πλευρά και σ' αυτή τη γραμμή.
Δεν θα το βρεις. Και δεν φταίει ο χάρακας ούτε τα μάτια σου: δεν υπάρχει. Όσο μικρό κι αν το φανταστείς, δεν χωράει και στα δύο. Οι δύο γραμμές δεν έχουν κανένα κοινό μέτρο.
Οι αρχαίοι Έλληνες πίστευαν ότι κάθε δύο μήκη έχουν κοινό μέτρο. Όταν ανακάλυψαν ότι αυτό δεν ισχύει, τους φάνηκε τόσο τρομακτικό που ονόμασαν αυτή τη γραμμή ἄρρητη — αυτή που δεν λέγεται.
Και τα δύο πειράματα μιλούν για τον ίδιο αριθμό: το 1,4142… Στο πρώτο είναι το σχήμα του χαρτιού. Στο δεύτερο είναι το μήκος της γραμμής. Είναι ο ίδιος αριθμός, και δεν γράφεται ποτέ ολόκληρος.
Τυπώνω λέξεις πάνω σε ένα χαρτί που δεν λέγεται.